如图 已知抛物线$y=ax^{2}+bx+5$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$ $B\left(5,0\right)$两点（点$A$在点$

【#如图 已知抛物线$y=ax^{2}+bx+5$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$ $B\left(5,0\right)$两点（点$A$在点$#】

1、（1）将$A\left(-1,0\right)$，$B\left(5,0\right)$代入$y=ax^{2}+bx+5$，

2、得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=5}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$，

3、解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，

4、则抛物线解析式为$y=-x^{2}+4x+5$；

5、$(2)$能.

6、设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，

7、把$C\left(0,5\right)$，$B\left(5,0\right)$代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，

8、解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，

9、所以直线$BC$的解析式为$y=-x+5$，

10、设$D(x$，$-x^{2}+4x+5)$，则$E\left(x,-x+5\right)$，$F\left(x,0\right)$，$\left(0 \lt x \lt 5\right)$，

11、$\therefore DE=-x^{2}+4x+5-\left(-x+5\right)=-x^{2}+5x$，$EF=-x+5$，

12、当$DE:EF=2:3$时，$S_{\triangle BDE}$：$S_{\triangle BEF}=2:3$，即$(-x^{2}+5x):\left(-x+5\right)=2:3$，

13、整理得$3x^{2}-17x+10=0$，

14、解得$x_{1}=\frac{2}{3}$，$x_{2}=5(舍去)$，此时$D$点坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{65}{9})$；

15、当$DE:EF=3:2$时，$S_{\triangle BDE}$：$S_{\triangle BEF}=3:2$，即$(-x^{2}+5x):\left(-x+5\right)=3:2$，

16、整理得$2x^{2}-13x+15=0$，

17、解得$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=5(舍去)$，此时$D$点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4})$；

18、综上所述，当点$D$的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{65}{9}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4})$时，直线$BC$把$\triangle BDF$分成面积之比为$2:3$的两部分；

19、$(3)$抛物线的对称轴为直线$x=2$，如图，

20、设$M\left(2,t\right)$，

21、$\because B\left(5,0\right)$，$C\left(0,5\right)$，

22、$\therefore BC^{2}=5^{2}+5^{2}=50$，$MC^{2}=2^{2}+\left(t-5\right)^{2}=t^{2}-10t+29$，$MB^{2}=\left(2-5\right)^{2}+t^{2}=t^{2}+9$，

23、当$BC^{2}+MC^{2}=MB^{2}$时，$\triangle BCM$为直角三角形，$\angle BCM=90^{\circ}$，即$50+t^{2}-10t+29=t^{2}+9$，解得$t=7$，此时$M$点的坐标为$\left(2,7\right)$；

24、当$BC^{2}+MB^{2}=MC^{2}$时，$\triangle BCM$为直角三角形，$\angle CBM=90^{\circ}$，即$50+t^{2}+9=t^{2}-10t+29$，解得$t=-3$，此时$M$点的坐标为$\left(2,-3\right)$；

25、当$MC^{2}+MB^{2}=BC^{2}$时，$\triangle BCM$为直角三角形，$\angle CMB=90^{\circ}$，即$t^{2}-10t+29+t^{2}+9=50$，解得$t_{1}=6$，$t_{2}=-1$，此时$M$点的坐标为$\left(2,6\right)$或$\left(2,-1\right)$，

26、综上所述，满足条件的$M$点的坐标为$\left(2,7\right)$，$\left(2,-3\right)$，$\left(2,6\right)$，$\left(2,-1\right)$.

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